1. Построение текста.
2. Объекты и их обозначения.

1.1. Построение текста.

Этот раздел "Философских заметок" по видимости не имеет никакого отношения к Липовке. Здесь будет собран фактический материал, который подлежит осмыслению в дальнейшем. В дальнейшем и прояснится связь этого раздела с философией и Липовкой.

Связь булевой алгебры с нумерологией будет исследоваться через магические квадраты - маргинальный конструкт европейской математики и один из основных элементов китайской методологии мышления, лежащей в основе математики, науки вообще, искусства и философии (квадрат Ло Шу).

Содержание данного раздела - это в основном математические выкладки.

Изложение в значительной степени является историческим: вначале рассматриваются довольно частные вещи, потом делаются некоторые обобщения и в конце уже излагается полная теория. Конечно, можно было бы оставить один только конец, но, мне кажется, полезно посмотреть как исторически складывалась эта теория. Кроме того, некоторые частные вещи забавны сами по себе и эти детали могут быть незаметны в общей теории.

В разделе 2 исследуется связь булевой алгебры с одним единственным магическим квадратом - квадратом Дюрера. Здесь выявляются некоторые интересные симметрии, которые потом будут обобщены для некоторых классов магических квадратов.

В разделе 3 уже делается попытка рассматривать систему магических квадратов: и как числовых квадратов и как квадратов логических операций (функций). Главным инструментом здесь оказывается преобразование квадратов. Выделяются два главных класса таких преобразований: перестановочные и инвертирующие преобразования.

В разделе 4 строится общая теория магических квадратов 4-го порядка. Выделяются основные типы магических квадратов: симметричные, равномерные и s-квадраты - одновременно симметричные и равномерные. Рассматриваются логические преобразования квадратов, являющиеся произведениями инвертирующих и перестановочных преобразований. Наиболее полная теория получается для s-квадратов, образующих вместе с подгруппой логических преобразований подгруппу преобразований с весьма интересными свойствами.

В разделе 5 проводится анализ полученных результатов с точки зрения логики и нумерологии. Иными словами, здесь ищется логический и нумерологический смысл теории магических квадратов и их преобразований. Устанавливается связь логических операций и триграмм.

1.2. Объекты и их обозначения.

Будут рассматриваться следующие объекты:

• числа - целые неотрицательные числа:
  • в десятичном представлении,
• в шестнадцатиричном представлении, для записи которых будут использоваться шестнадцатиричные цифры 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F,
• в двоичном представлении;
• логические операции, которые в зависимости от контекста будут:
  • обозначаться знаками логических операций (логическими связками),
  • рассматриваться как функции, принимающие истинностные значения 0 (ложь) или 1 (истина),
  • обозначаться их двоичными кодами - как двоичные четырёхразрядные числа (шестнадцатиричные цифры);
• квадраты - матрицы nxn, элементами которых являются числа или логические операции; в основном n=4 или для подквадратов n=2;
• преобразования, задающие отображения чисел или логических операций, соответственно, в числа или логические операции и, как следствие, задающие отображения квадратов в квадраты.

Для удобства дальнейшего изложения лучше сразу договориться о некоторых принципах обозначения объектов.

• Элементарные объекты мы будем обозначать обычными малыми буквами:
  
  • числа и логические операции - малыми латинскими буквами: a,b,c,d,e,f,...
  • преобразования - малыми греческими буквами: , , , , , ,...
• Сложные (составные, агрегатные) объекты мы будем обозначать жирными малыми буквами:
  • квадраты - a, b, c, d, e, f,...
• Кроме индивидуальных объектов, будут рассматриваться их множества, которые мы будем обозначать большими буквами или перечислением их элементов, заключённым в фигурные скобки:
  • множества чисел и множества логических операций:
    • A,B,C,D,E,F,... или
    • {a},{b},{c},{d},{e},{f},...
  • множества преобразований:
    • A, B, , , E, ,... или
    • {},{},{},{},{},{},...
  • множества квадратов:
    • A, B, C, D, E, F,... или
    • {a}, {b}, {c}, {d}, {e}, {f},...
• Индексы (нижний и верхний,числовой и/или буквенный) будут использоваться для расширения набора букв: a₁, ^b, a_c1, A¹, A_b, A^c.
• Верхний индекс также будет использоваться как показатель возведения в степень.
• - квантор всеобщности: x ... - для каждого x ...
• - квантор существования: x ... - существует x такое, что ...
• - символ принадлежности множеству: xX - x принадлежит X
• - символ вложенности (строгой) множеств: XY - X вложен в Y
• - символ вложенности (нестрогой) множеств: XY - X вложен в Y или X равен Y
• - символ объединения множеств
• - символ пересечения множеств